Android プログラムで UI 操作を行う場合は、その処理はアプリのメインスレッドから行わなければいけません（Android に限らずほとんどの OS で同じような感じです）。
Activity の onCreate メソッドなどを呼び出しているのがそのアプリのメインスレッドであり、Android ではイコール UI スレッドです。
タイマー処理などで、UI を更新する場合はこのメインスレッドから行う必要があり、新しく立ち上げた別のスレッドから UI を更新することはできません。
このようなケースで利用できるのが android.os.Handler クラスです。
Handler#post メソッドに Runnable オブジェクトを渡すと、最終的にその Handler オブジェクトを生成したスレッドで Runnable オブジェクトの run メソッドが実行されるようになっています。
つまり、Handler オブジェクトを Application のメインスレッドから（例えば Activity のフィールドとして）生成しておけば、そこに post した Runnable タスクは、メインスレッドで実行されることが保証されます。
Handler#post メソッドは、内部的にはスレッドローカルな Looper に結び付けられた MessageQueue オブジェクトに処理をキューイングしています。
Handler オブジェクトをメインスレッドから生成すれば、メインスレッド上の MessageQueue と結び付けられ、その MessageQueue が Looper によってメインスレッド上で処理されるという流れになっています。
別の言い方をすれば、メインスレッドの MessageQueue に対して、Runnable タスクを投入するためのインタフェースとなるのが Handler オブジェクトというわけです。