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数学メモ: 公式 - 二項定理

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二項定理の公式

$$(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_r a^{n-r}b^{n}$$

例1

$$(a+b)^2=\sum_{r=0}^{2} {}_2 \mathrm {C}_r a^{2-r}b^r = {}_2 \mathrm{C}_0 a^2b^0 + {}_2 \mathrm{C}_1 a^1b^1 + {}_2 \mathrm{C}_2 a^0b^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

例2

$$(a+b)^3=\sum_{r=0}^{3} {}_3 \mathrm{C}_r a^{3-r}b^r = {}_3 \mathrm{C}_0 a^3b^0 + {}_3 \mathrm{C}_1 a^2b^1 + {}_3 \mathrm{C}_2 a^1b^2 + {}_3 \mathrm{C}_3 a^0b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

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