まず前提として、下記の手順により、Azure 上に Web App Bot リソースが作成済みであることとします。 ここに、ローカルで作成したボットをデプロイすることになります。
Web ブラウザでデプロイする方法（KUDU の Zip Deploy UI）
プロジェクトのファイルを ZIP ファイルとしてアーカイブし、Zip Deploy UI という Web ページにドラッグ＆ドロップでデプロイする方法です。
この Web サイトには、下記のような URL でアクセスできます。
<app_name> の部分は、自分のボットアプリ名に置き換えてください。
https://<app_name>.scm.azurewebsites.net/ZipDeployUI
左上に表示されるロゴからも分かるように、Azure の Web App サービスでは、Kudu というデプロイエンジンが使われているようですね。
この /wwwroot ディレクトリの内容が表示されている画面で、エクスプローラ領域に ZIP ファイルをドラッグ＆ドロップすると、ZIP ファイル内のファイルがまとめて /wwwroot にアップロードされます。
ボットプログラムのエントリポイントとなる bot.js ファイルを編集してから ZIP 化し、デプロイすることで、ボットの動作が変わることを確認できると思います。
ZIP アーカイブ作成時の注意
ZIP ファイルの中身が展開された状態でデプロイされるので、ZIP の展開後に余計なディレクトリ階層ができないように ZIP アーカイブを作成してください。 具体的には、プロジェクトのディレクトリを ZIP 化するのではなく、プロジェクトのディレクトリ内のファイル群を ZIP 化します。 コマンドラインから ZIP アーカイブを作成するには、プロジェクトのルートディレクトリから下記のようにします。
zip -r <file-name>.zip .Compress-Archive -Path * -DestinationPath <file-name>.zipWindows であれば、プロジェクトのディレクトリで Ctrl + A でファイルを全選択し、右クリックから 送る → 圧縮（zip形式）フォルダー とするのが手っ取り早いかもしれません。
ちなみに、上記のサイトで、ファイル名の横にある編集アイコン（鉛筆マーク）をクリックすると、Web サイト上でソースコードを直接編集することができます。 ここでチョチョイとコードを変更すれば、直ちにボットの応答に反映されます。