各種 OS 用のパッケージでインストールする
MongoDB のクライアント (mongo) やサーバー (mongod)、その他の各種コマンド（mongoexport や mongostat など） は、下記のサイトから各種 OS 用のバイナリをダウンロードしてインストールすることができます。
Windows 用のインストーラを使うと、簡単に mongod を Windows サービスとして登録したりすることができます（手動でサービス登録することもできます）。
インストールして、bin ディレクトリへのパスが通ったら、mongo コマンドを実行できるか確認しておきましょう。
$ mongo --version
MongoDB shell version v4.0.9
git version: fc525e2d9b0e4bceff5c2201457e564362909765
allocator: tcmalloc
modules: none
build environment:
distmod: 2008plus-ssl
distarch: x86_64
target_arch: x86_64macOS なら Homebrew でのインストールが楽
macOS の場合、Homebrew を使うと簡単に MongoDB のコマンド群（mongo や mongod）をインストールできます。
mongodb-community パッケージのインストール
$ brew tap mongodb/brew # MongoDB 用のリポジトリ情報を追加
$ brew install mongodb-community # MongoDB 関連コマンドをインストール
$ brew upgrade mongodb-community # （バージョンアップしたいとき）これで、/usr/local/bin に以下のようなコマンド群がインストールされます（正確にはこれらはシンボリックリンクであり、実体は /usr/local/Cellar/mongodb-* 以下にインストールされています）。
/usr/local/bin/mongo
/usr/local/bin/mongod
/usr/local/bin/mongodump
/usr/local/bin/mongoexport
/usr/local/bin/mongofiles
/usr/local/bin/mongoimport
/usr/local/bin/mongorestore
/usr/local/bin/mongos
/usr/local/bin/mongostat
/usr/local/bin/mongotop
☝️ 古い mongodb パッケージを使用している場合
2019 年に Homebrew の Core リポジトリから
mongodb パッケージが削除されました。
代わりに 3rd party リポジトリ (mongodb/brew) から、mongodb-community パッケージが配信されています。
以前の mongodb パッケージがインストールされている場合は、brew uninstall mongodb でアンインストールして、mongodb-community の方を使うようにしてください。
動作確認
$ mongo --version
MongoDB shell version v4.4.5
...
$ mongod --version
db version v4.4.5
...