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数学メモ: 統計で使う用語のまとめ（分散や標準偏差など）

更新: 2024-11-12 / 作成: 2024-11-12

推測統計で使う「分散」や「標準偏差」、「誤算」といった用語のまとめです。日本語むずかしい。

母集団の統計量

用語	記号	説明
母平均	$μ$	母集団の平均値（真の平均）
母分散	$σ^{2}$	母集団の分散（散らばり具合）。有限母集団から計算した分散
母標準偏差	$σ$	母集団の標準偏差

標本の統計量

用語	記号	説明
標本サイズ	$n$	標本の中にいくつデータがあるか（標本の大きさ）
標本数	─	標本自体がいくつあるか（≠ 標本サイズ）
標本平均	$\bar{x}$	標本から計算した平均 $\bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}$
標本分散	$s^{2}$	標本から計算した分散 $s^{2} = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n}$
標本標準偏差	$s$	標本から計算した標準偏差 $s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n}}$

標本平均 $\bar{x}$ を使った推測

用語	記号	説明
標本分布	─	標本平均 $\bar{x}$ の分布。
標本誤差	─	標本データを使って母集団の統計量を推測する際に発生する誤差。
標本誤差分散	$s_{\bar{x}}^{2}$	標本平均 $\bar{x}$ の分散。複数の標本を集めたとき、それぞれの標本平均 $\bar{x}$ がどの程度ばらついているか（標本分布のばらつき）を示す。標本サイズ $n$ が十分に大きいときは（目安は $n \geq 30$ ）、母分散 $σ^{2}$ = 標本分散 $s^{2}$ とみなして、 $s_{\bar{x}}^{2} = \frac{s^{2}}{n}$ となる。
標本標準誤差 (標準誤差SE)	$s_{\bar{x}}$	標本平均 $\bar{x}$ の標準偏差。SE: Standard Error。標準誤差SE（および標本誤差分散）は、推定量のバラツキを表し、標準誤差 SE が小さいほど精度が高いことを示す。 $s_{\bar{x}} = \sqrt{s_{\bar{x}}^{2}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$ （ $n$ が十分に大きいとき）
母誤差分散	$σ_{\bar{x}}^{2}$	標本平均 $\bar{x}$ の分散の理論値で、通常は未知。 $σ_{\bar{x}}^{2} = \frac{σ^{2}}{n}$ 標本サイズが大きくなると、標本誤差分散 $s_{\bar{x}}^{2}$ は、この $σ_{\bar{x}}^{2}$ に近づく。
母標準誤差	$σ_{\bar{x}}$	標本平均 $\bar{x}$ の標準偏差の理論値で、通常は未知。 $σ_{\bar{x}} = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ 標本サイズが大きくなると、標本標準誤差（標準誤差SE） $s_{\bar{x}}$ は、この $σ_{\bar{x}}$ に近づく。
不偏分散	${\hat{σ}}^{2}$	母分散が未知のときに母分散の代わりに使う、標本から計算する分散。 ${\hat{σ}}^{2} = \frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}$
不偏標準偏差	$\hat{σ}$	母標準偏差が未知のときに母標準偏差の代わりに使う、標本から計算する標準偏差。 $\hat{σ} = \sqrt{{\hat{σ}}^{2}} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}$
不偏誤差分散	${\hat{σ}}_{\bar{x}}^{2}$	${\hat{σ}}_{\bar{x}}^{2} = \frac{{\hat{σ}}^{2}}{n} = \frac{s^{2}}{n - 1}$
不偏標準誤差	${\hat{σ}}_{\bar{x}}$	${\hat{σ}}_{\bar{x}} = \frac{\hat{σ}}{\sqrt{n}} = \frac{s}{\sqrt{n - 1}}$

ポイント:

「誤差」 と付いたら、標本平均 $\bar{x}$ の分散について述べています（標本分布のバラツキ）。
「不偏」 と付いたら、標本を使って母集団の値（母分散など）の代替値を計算しています。

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