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数学メモ: 書籍『はじめての数論(原著第3版)』の練習問題メモ

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練習問題 1.1

問題

平方数でも三角数でもある最初の 2 つの数は 1 と 36 である。次に小さな例を見つけよう。できれば、その次の例も見つけよう。三角数でありかつ平方数でもある数を見つける有効な方法を見つけることはできるだろうか?こうした性質をもつ数は無数にあると考えられるか?

解答

Python で三角数 (triangle number) = 平方数 (square number) となる数値を見つけてみる。

#!/usr/bin/env python
def triangle(k): return k * (k + 1) // 2
def square(k): return k ** 2

a = 1
b = 1
while True:
    tri = triangle(a)
    squ = square(b)
    if tri == squ:
        print('triangle({}) = square({}) = {}'.format(a, b, tri))
        a += 1
        b += 1
    elif tri < squ:
        a += 1
    else:
        b += 1

    if a > 10000000:
        break
実行結果
triangle(1) = square(1) = 1
triangle(8) = square(6) = 36
triangle(49) = square(35) = 1225
triangle(288) = square(204) = 41616
triangle(1681) = square(1189) = 1413721
triangle(9800) = square(6930) = 48024900
triangle(57121) = square(40391) = 1631432881
triangle(332928) = square(235416) = 55420693056
triangle(1940449) = square(1372105) = 1882672131025

数を大きくすれば、無数に見つかりそうな予感はします。

練習問題 1.2

問題

最初の何個かの奇数を足し合わせてみよう。このとき、その和に何かパターンを見出せるだろうか?パターンを見つけたならば、それを式にしてみよう。その公式が正しいことを幾何的に証明してみよ。

解答

奇数の和は、以下のように $n^2$、つまり平方数になっているように見えます。

1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

幾何学的には、n が増えるごとに、以下のように逆 L 字型を追加していくことを表しているので、結果的に n x n の正方形になることが分かります。

□■□■□
■■□■□
□□□■□
■■■■□
□□□□□

理論的には、第k項の奇数を 2k - 1 として、

$$\sum_{k=1}^{n}2k-1 = 2 \frac{n(n+1)}{2} - n = n^2$$

となり、確かに平方数になっていることが分かります。

練習問題 1.3

問題

引き続く 3 つの奇数 3, 5, 7 はすべて素数である。無数に多くの「素数の 3 つ組」すなわち「三つ子素数」は存在するだろうか?言い直せば、素数 p について、p+2 および、p+4 も素数であるものは無数に存在するだろうか?

解答

p が偶数の場合は、p は素数でないので、奇数の p についてだけ考えます。 5 から始まる三つ子を列挙してみると、以下のようになります。

5, 7, [9]
7, [9], 11
[9], 11, 13
11, 13, [15]
13, [15], 17
[15], 17, 19
17, 19, [21]

括弧で囲んだ部分が示すように、3 行ごとに必ず右端に 3 の倍数が出てきます。なので、3, 5, 7 以外には三つ子素数は存在しないことが分かります。

数学っぽく説明するなら、p=2k+3(奇数)とおいて、

p   = 2(k+1)
p+2 = 2(k+2)
p+4 = 2(k+3)

と書けるので、k がどんな自然数だとしても、3 つの数字のうちいずれかが必ず 3 の倍数になることが説明できます。

練習問題 1.4

問題

$N^2 + 1$ の形をした素数は無数に存在すると信じられているが、それが確かなことであるかまだ誰も知らない。

  1. $N^2 - 1$ の形をした素数は無数に多くあると考えられるか?
  2. $N^2 - 2$ の形をした素数は無数に多くあると考えられるか?
  3. $N^2 - 3$ や $N^2 - 4$ についてはどうだろうか?
  4. $N^2 - a$ の形をした素数が無数に多くあるような $a$ の値はどのような性質を持つだろうか?

解答

またこんど

練習問題 1.5

続きはボチボチやっていこう。。。

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