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数学メモ: 累乗 (2^x) と階乗 (x!) の増え方を比べる

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$2^x$ の値は、$x$ が増えるごとに 2倍、2倍、2倍、で増えていきます。 一方、$x!$ の値は、$x$ が増えるごとに 2倍、3倍、4倍、と増えていくので激しい増え方をします。 どちらも指数関数ですが、圧倒的に $x!$ の増え方の方が大きいです。

だからびっくりマークが付いているんですね。

値が、8 桁に到達するのは、それぞれ、

  • $2^{24}$ = 16777216
  • 11! = 39916800

です。 組み合わせ問題を PC を使って総当たりで解く場合、これくらいのサイズで限界に達します(短い時間で解く場合)。 実際には、$2^{23}$ と 10! までの総当たりが限度と覚えておけばよいでしょう。

$2^x$ の増え方

$2^x$ は以下のような感じで増えます。

2**1 = 2
2**2 = 4
2**3 = 8
2**4 = 16
2**5 = 32
2**6 = 64
2**7 = 128
2**8 = 256
2**9 = 512
2**10 = 1024
2**11 = 2048
2**12 = 4096
2**13 = 8192
2**14 = 16384
2**15 = 32768
2**16 = 65536
2**17 = 131072
2**18 = 262144
2**19 = 524288
2**20 = 1048576
2**21 = 2097152
2**22 = 4194304
2**23 = 8388608
2**24 = 16777216
2**25 = 33554432
2**26 = 67108864
2**27 = 134217728
2**28 = 268435456
2**29 = 536870912
2**30 = 1073741824
2**31 = 2147483648
2**32 = 4294967296
2**33 = 8589934592
2**34 = 17179869184
2**35 = 34359738368
2**36 = 68719476736
2**37 = 137438953472
2**38 = 274877906944
2**39 = 549755813888
2**40 = 1099511627776
2**41 = 2199023255552
2**42 = 4398046511104
2**43 = 8796093022208
2**44 = 17592186044416
2**45 = 35184372088832
2**46 = 70368744177664
2**47 = 140737488355328
2**48 = 281474976710656
2**49 = 562949953421312
2**50 = 1125899906842624

x! の増え方

x! つまり、階乗 (factorial) は以下のような感じで爆発的に増えます。

1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800
11! = 39916800
12! = 479001600
13! = 6227020800
14! = 87178291200
15! = 1307674368000
16! = 20922789888000
17! = 355687428096000
18! = 6402373705728000
19! = 121645100408832000
20! = 2432902008176640000
21! = 51090942171709440000
22! = 1124000727777607680000
23! = 25852016738884976640000
24! = 620448401733239439360000
25! = 15511210043330985984000000
26! = 403291461126605635584000000
27! = 10888869450418352160768000000
28! = 304888344611713860501504000000
29! = 8841761993739701954543616000000
30! = 265252859812191058636308480000000
31! = 8222838654177922817725562880000000
32! = 263130836933693530167218012160000000
33! = 8683317618811886495518194401280000000
34! = 295232799039604140847618609643520000000
35! = 10333147966386144929666651337523200000000
36! = 371993326789901217467999448150835200000000
37! = 13763753091226345046315979581580902400000000
38! = 523022617466601111760007224100074291200000000
39! = 20397882081197443358640281739902897356800000000
40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000
41! = 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42! = 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43! = 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44! = 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45! = 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46! = 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47! = 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48! = 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49! = 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
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